die of something (когда речь идет о прямой причине смерти)
die from something (когда речь о косвенной причине)
Lots of people die from regular and long exposure to direct sun rays. / Многие люди умирают от регулярного и длительного пребывания на открытом солнце.
His father died of a heart attack. / Его отец умер от сердечного приступа.