dry out обозначает высохнуть и прекратить существование, полностью потерять влагу

The river started drying out in the middle of the previous century. / Река начал пересыхать в середине предыдущего столетия.

dry up обозначает стать сухим или закончиться

Our clothes dried up and we put it back on. / Наша одежда высохла и мы ее снова надели.
Money is drying up. We need to come up with a plan. / Деньги заканчиваются. Нам надо что-то придумать.