проводить расследование
Hello, sir. We're from the police. We're conducting an investigation. / Здравствуйте, сэр. Мы из полиции. Мы проводим расследование.
закрывать расследование
They told the police they were not convinced it was suicide. But the police closed the investigation. / Они сказали полиции, что не были уверены, что это было самоубийство. Но полиция закрыла расследование. (из фильма The Pelican Brief)
under investigation это английская разговорная фраза
under investigation перевод "под расследованием"
His company has been under investigation for over a year. / В отношении его компании проводится уголовное расследование уже целый год.